111+1×2를 계산하면, 곱셈을 덧셈보다 먼저 하니까 113이 정답이다.
그런데 이걸 왼쪽부터 차례대로 계산해서 224가 답이라고 우기는 사람도 있다.
그러고 보니 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 하도록 규칙을 정했는지 모르겠다.
특별한 이유라도 있는 걸까?
  

  

  











초등학교 교육을 제대로 받은 사람이라면, 사칙연산,
즉 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식을 계산할 때
우선 순위가 있음을 알 것이다. 수식의 계산은 왼쪽에서 오른쪽으로
차례대로 하되, 괄호를 우선으로 하고 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다
먼저 하게 되어 있다.
 111+1×2의 경우 곱셈을 먼저 하니까 1×2=2를 구한 다음,
111에 그 결과를 더하여 113이 된다.
단순히 연산의 우선 순위 없이 차례대로 계산한다면,
111+1=112를 먼저 구하고, 그 결과에 다시 2를 곱하여 224가 된다. 
 
당연한 말이지만, 연산의 우선 순위가 달라지면, 계산 결과도 달라진다.
“왜 곱셈을 덧셈보다 먼저 하나요?”라고 묻는다면 답은 뻔하다.
원래 규칙이 그러니까.
그러나 “왜 하필이면 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 걸로 규칙을 정했나요?”라고
묻는다면 뭐라고 답해야 할까?
 











사칙연산에서 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 표기법은,
곱셈을 먼저 하라는 기호인 괄호를 생략한 것과 마찬가지라고 하였다.
왜 하필 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 것일까?
덧셈 쪽의 괄호를 생략할 수도 있지 않을까? 여기에 대한 대답은 “그렇다”이다.
사칙연산에서 덧셈을 곱셈보다 먼저 하는 것으로 규칙을 정했다고 하여도
논리적인 모순은 생기지 않는다.
아니, 그저 덧셈을 먼저 하라는 괄호를 생략하는 것뿐이니까
모순이 생길 이유가 없다. 다만 111+(1×2)과 (111+1)×2의 결과가 다르고
괄호의 개수가 늘어날수록 식이 더 복잡해지므로,
어느 한 쪽의 괄호를 생략하는 것으로 규칙을 정하는 것이 편리하다.
그렇지만 어떤 연산의 경우는 이런 규칙 없이 항상 괄호를 쓰기도 한다.
두 집합 사이의 연산인 합집합 연산과 교집합 연산이 바로 그런 경우이다.

다음 표에서 보듯, 경우에 따라서는 곱셈을 먼저 하라는 괄호를 생략하는 게
더 간단할 수도 있고, 또 어떤 경우에는 반대로 덧셈을 먼저 하라는 괄호를
생략하는 게 더 간단할 수도 있다.

  

  

  

  

 











따라서 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 규칙은 반드시 그래야만 하는
논리적인 이유가 있다기보다는 경험적이고 역사적인 결과로서 정해진 것이라
할 수 있다. 현재와 비슷한 대수적인 표기법이 정립되기 시작한
16세기 무렵의 문헌에 이미 덧셈보다 곱셈을 먼저 하는 규칙이 보이지만
다항식을 써 보면 곱셈의 괄호를 생략하는 쪽이 편리하다.
 
 
 
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